Prueba de la Derivada de \( e^x \)

Se presenta la prueba de la derivada de la función exponencial natural \( e^x \) utilizando la definición límite de la derivada. También se presenta la derivada de una función compuesta de la forma \( e^{u(x)} \) incluyendo ejemplos con sus soluciones.

Prueba de la Derivada de \( e^x \) Utilizando la Definición de la Derivada

La definición de la derivada \( f' \) de una función \( f \) se da por el límite \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \] Sea \( f(x) = e^x \) y escribimos la derivada de \( e^x\) de la siguiente manera
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^{x+h}-e^x}{h} \)
Usamos la fórmula \( e^{x+h} = e^x e^h \) para reescribir la derivada de \( e^x \) como
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^x e^h - e^x}{h} \)
Factorizamos \( e^x \) en el numerador
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{e^x (e^h - 1)}{h} \)
Dado que \( e^x \) no depende de \( h \), lo anterior se puede reescribir como
\( f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \dfrac{ e^h - 1}{h} \)
Ahora necesitamos encontrar el límite \( \lim_{h \to 0} \dfrac{ e^h - 1}{h} \).
Sea \( y = e^h - 1 \)
y notamos que
\( \lim_{h \to 0} y = 0\)
Ahora expresamos h en términos de y
\(e^h = y + 1 \)
tomamos el ln de ambos lados
\(ln(e^h) = ln(y + 1) \)
simplificamos el lado izquierdo usando la regla: \( ln(e^x) = x \)
\( h = \ln(y + 1) \)
Con la sustitución anterior, podemos escribir
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{ e^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \dfrac{ y}{\ln(y+1)} \)
Reescribimos el término en la derecha de la siguiente manera
\( = \lim_{y \to 0} \dfrac{ 1}{\dfrac{1}{y}\ln(y+1)} \)
Usamos la regla del exponente de los logaritmos ( \( a \ln y = \ln y^a \) ) para reescribir el límite anterior como
\( = \lim_{y \to 0} \dfrac{ 1}{\ln(y+1)^{\dfrac{1}{y}}} \ )
Usamos la regla del límite de un cociente y el límite de una función compuesta para reescribir lo anterior como
\( = \dfrac{ \lim_{y \to 0} 1}{\lim_{y \to 0} \ln(y+1)^{\dfrac{1}{y}}} = \dfrac{1}{\ln \left(\lim_{y \to 0} (y+1)^{\dfrac{1}{y}} \right)} \)
Una de las definiciones de la constante de Euler \( e \) es
\( e = \lim_{m \to 0} ( 1 + m) ^{\dfrac{1}{m}} \)
Por lo tanto, el límite que buscamos se da por
\( \lim_{h \to 0} \dfrac{ e^h - 1}{h} = \dfrac{1}{\ln \left(\lim_{y \to 0} (y+1)^{\dfrac{1}{y}} \right)} = \dfrac{1}{\ln e} = 1\)
lo que finalmente nos da
\( f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \dfrac{ e^h - 1}{h} = e^x \times 1 = e^x \)
Conclusión: \[ \dfrac{d}{dx} e^x = e^x \]
Nota que cualquier función de la forma \( f(x) = k e^x \), donde k es una constante, es igual a su derivada.

Derivada de la Función Compuesta \( y = e^{u(x)} \)

Ejemplo 1
Encuentra la derivada de las funciones exponenciales compuestas

1. \( f(x) = e^{x^3-2x+3} \)
2. \( g(x) = e^{\sqrt{x^2+1}} \)
3. \( h(x) = e^{ \left(\dfrac{x}{x-2}\right)} \)

Solución al Ejemplo 1

1. 
   Sea \( u(x) = x^3-2x+3 \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} (x^3-2x+3) = 3x^2-2 \)
   Aplicamos la regla para la función exponencial compuesta encontrada anteriormente
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} f(x) = e^u \dfrac{d}{dx} u = e^{x^3-2x+3} \times (3x^2-2) \)
   \( = (3x^2-2) e^{x^3-2x+3} \)
   
   
2. 
   Sea \( u(x) = \sqrt{x^2+1} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = \dfrac{d}{dx} \sqrt{x^2+1} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \).
   Aplicamos la regla de diferenciación para la función exponencial compuesta anterior
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} g(x) = e^u \dfrac{d}{dx} u = e^{\sqrt{x^2+1}} \times \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \)
   \( = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \; e^{\sqrt{x^2+1}} \)
   
   
3. 
   Sea \( u(x) = \dfrac{x}{x-2} \) y por lo tanto \( \dfrac{d}{dx} u = -\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2} \)
   Aplicamos la regla de diferenciación para la función exponencial compuesta obtenida anteriormente
   \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} h(x) = e^u \dfrac{d}{dx} u = e^{ \left(\dfrac{x}{x-2}\right)} \times ( -\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2} ) \)
   \( = -\dfrac{2}{\left(x-2\right)^2} \; e^{\left(\dfrac{x}{x-2}\right)} \)
   
   

Más Referencias y enlaces